理解はできても、納得できないこと「モンティ・ホール問題」「0.999…=1」

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どうも、河白です。

最近数学系の面白い話をわかりやすく解説してる動画やサイトにハマってるんですが、中でも「はぇ~」と思ったものを2つご紹介しようかなと。

モンティ・ホール問題

知ってる人は知っている有名な問題、モンティ・ホール問題。

これ、確率の問題なんですけどストーリがすごく面白いんですよねー。

モンティ・ホール問題の発祥

アメリカの番組のコーナーで、あるゲームが行われました。
A・B・Cの3つのドアがあり、うち1つはアタリの車、残り2つはハズレのヤギがいます。

挑戦者はまずドアを1つ選ぶと、司会者が残った2つのドアの内、ハズレのドアを開けて見せます。

最後に、自分の選んだドアか残ったドアかを選ぶことができます。

この場合、自分の選んだままの方がいいか・入れ替えたほうがいいかを、「最もIQの高い女性」の名を持つマリリン・ボス・サバントに聞いたところ、「入れ替えたほうが当たる確率は2倍になる」と答えたそうです。

この答えに対して約1万通の投書が殺到し、内1,000人くらいは博士号保持者で、「どう考えても50% - 50%やろ!」と口を揃えて反論。

結局、コンピュータでシミュレートしてみるとマリリンの言う通りになったので、約1,000人の博士は赤っ恥をかいたというお話です。
(赤っ恥かいたかどうかは推測ですが)

ちなみに「モンティ・ホール」はその番組の司会者の名前です。

学会とかどこかしらに提起された問題はたくさんありますけど、TV番組のコーナーから議論が発生したってところがおもしろいです。

なぜ替えた方がいい?

最初に選んだドアと、残り2つのドアの2グループに分けて考えると、自分が選んだドアにアタリがある確率は1/3、片方のグループは2/3です。

自分が選んでいないドアは2つですが、1つハズレ枠が除外されるので、片方のドアは1つにもかかわらず2/3という状態が出来上がります

ちょうど自分が選んだドアの2倍、当たる確率が高いことになります。

ぼくが見たサイトでは100個のドアで説明していました。

100個のドアから1つ選ぶとアタリがある確率は1/100で1%。
それ以外のドアにアタリがある確率は1/100が99個で99%。

そんで、選んでいないドアからハズレのドアを98個除去したとき、選んだドアを入れ替えたほうがいいか?

そりゃ入れ替えたほうが当たりやすいわな。

スプレッドシートでシミュレートしてみる

理屈では理解できても、実測で確認できないと心の底からスッキリできない!!
…ということでスプレッドシートでシミュレートしてみます。

1万回すりゃいい数字出るだろうってことで1万回試行します。

A・B・C行にランダムで1~3の数字を振り分け、「1」をアタリ・A行を始めに選ぶドアと仮定して手順通り進めていき、A行(自分が選んだドア)で当たった確率とB・C行(選ばなかったドア)にアタリがあった確率を算出しました。

まあ、見ての通り自分の選んだドアは34.17%、選ばなかったドアは65.83%とほぼ2倍の確率に。
(そりゃそうなるだろって感じだけど)

てことで、シミュレートでも入れ替えたほうが確率は2倍になりましたとさ。
めでたし。

「0.999…」=1?

小数点以下に「9」が無限に続く「0.9.」は、整数「1」と等しい。

これ初めて聞いたとき、すぐに理解できました?
ぼくはできませんでした。
(むしろ今でもモヤモヤしている)

「1」と同じになる理由

理屈は簡単です。

「0.9.」は「0.3.×3」で、
「0.3.」は「1/3」だから、
「0.3.×3」=「(1/3)×3」で、
つまり「0.9.」=「1」になる、というわけです。

理屈自体はすんなりわかるんですけどなんかモヤモヤします。

だって0.999…って1より小さいってことじゃないか!

…って思っちゃうんですけどそもそもこれが先入観で、0.999…=1なんだから小さいもクソもあるかいってことですよね。
うん、わかる。わかるんだけど( ループ )。

おわり

コレ、動画やサイトで解説みたとき「はぇ~おもしろい!」って思ったのですが決定的欠点が一つ。

この感動を友人や会社で仲いい人に共有したくでもうまく説明できないんですよね。

紙とペンなしで説明してもピンとこないし、そもそも「だから何?」て感じで。
周りはほとんど文系ってのもあるかもしれんけど、理系は理系で「知ってるけど?」とか言われそうだな…。

「0/nはなぜ0なのか」とか、「各位(くらい)の和が3の倍数の数字は3で割り切れる」とか、この手の話ってリアルだと全くウケないのなんか悲しいっす。
なんでブログに起こしました。自己満足です。

はい。

以上、河白でした。

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